Skip to content

挖树桩

一个多星期前我拿着电锯把房子周围的树木全都锯掉了，树干以及枝叶临时就堆在了前院，需要处理掉。上周我花了一天的时间，将这些残枝败叶装进自家的小车运往垃圾场，一车接一车，一共运了七次，赶上垃圾场关门前一刻，终于将这堆巨大的垃圾解决掉了。

现在看来，这只是万里长征走完了第一步，随后我将面临更为艰难的挑战——挖树桩。

请人来挖树桩自然是很花钱的，我干脆就没打听。另一种处理的方法是租用一种机器，将露出地面的树桩磨掉，地面以下的树桩还留着，这样就可以在树桩上铺草地了。不过据说留下的木头容易招白蚁，也不是个完美的解决方案。我决定，凭着自己的双手，把树桩挖出来。

就像砍树一样，挖树桩对我来说也是大姑娘坐花轿——头一回。不一样的地方在于，对于砍树的困难我已做好充分的心理准备，真正开始砍树之后觉得似乎也没有想象中的那样困难；而挖树桩则完全不同，一个树桩看着不大，然而隐藏在地下的植物根系却十分庞大，超乎我的想象。

我先从几个小的树桩开始挖，树的直径大约五厘米，用铁锹一会儿就挖出来了。后来转战那些大的树桩，树干直径均有十到三十厘米，这时使用铁锹就是有心无力了，所幸邻居杰森及时借给我一个十字镐，再去挖树桩便有如如虎添翼。

挖出几个树桩之后我发现，树桩之所以牢固，全在于向四周散发开去的树根。把围绕着树桩的所有树根挖断之后，树桩就有所松动了，此时再全力摇晃，使更小的树根也断裂开来，树桩就可以顺利拔出。也就是说，树根在地下生长的时候，大多是向着四周延伸，而不是朝着地底的方向生长。

理论虽然简单，实践起来也不容易。挖树桩这件事情，技术含量不高，全靠体力。即使是对于我这样一个精壮的汉子，也是一个挑战。我打算发扬愚公移山的精神，每天挖一点，争取早日将房屋四周清理干净。

砍树

房子周围有三棵松树，还有一些灌木和花卉。这些植物不知道是前屋主还是前前屋主种下的，都离混凝土地基比较近。经过多年生长，树干越来越粗壮，树上的叶子和枝条甚至挤压在外墙上。考虑到植物的根系可能会破坏地基，修剪枝条已经没有什么用，只能把树砍掉，把根除去。前院还有一棵樱花树，树干已经烂掉一半，也需要砍掉。

美国的人工很贵，砍掉这些树木至少要上千美元。我研究了一下，决定自己动手。

由于这是平生第一次使用电锯，我买了一个头盔、一副电锯手套、一条防割裤子，再加上家中已有的护目镜、口罩和硬头靴子，所有的防护装备便配齐了。上周末天气晴好，气温也比较暖和，我跟家人打了声招呼，灌好链条润滑油，雄赳赳气昂昂地提着电锯出门干活。

正式开干之前，我已学习了如何使用电锯以及如何砍树，哪知网上得来终觉浅，不到三分钟功夫，电锯的链条就被小树枝卡住而脱落下来。

于是又屁颠屁颠提着电锯回到车库研究。折腾了好一会儿，终于将链条装回原位。这回我算是得到了一点小诀窍，知道了应该用锯子的哪个部位去靠近树干比较好，后面链条再也没有脱落过。

将靠近房屋的树和灌木放倒之后，便只剩下屋前的那棵樱花树了。此时已是五月，樱花树上已有好多小花骨朵，不日即将绽放。我和宝宝商量之后，决定不等花开，一鼓作气砍之。这棵树比较粗，放倒时需要小心谨慎。我按照网上学到的方法，先在一侧锯了一个三角形小缺口，再在另一侧锯开，树果然向着预定的方向倒下。

这一场战役打完，顿时觉得自己已经成长为了一个优秀的伐木工人。

放倒树只是第一步，下一步要将树干锯成一段一段的圆木，以及将所有残枝败叶运往垃圾场。我咨询了一下，清理工作请人来做也得好几百美元，没办法，为了省钱，只能捋起袖子继续自己干了。

《Understanding Numbers in Elementary School Mathematics》

Wu, Hung-Hsi. Understanding Numbers in Elementary School Mathematics. American Mathematical Society, 2011.

伍鸿熙这本讲解小学数学的书我前不久在《离谱的美国数学教育》一文中提到过，那时才刚刚开始读这本书，到现在读了一半，由于大宝才上二年级，书后半部分关于小学高年级的内容暂时用不上，倒也不急着看完。

此书最大的一个特点，在于把小学数学所有的内容公理化和系统化了，作者通过数学推导，把加减乘除各种运算的内在联系揭示出来，并修正了数学教材中常见的一些不严谨表述。

试举一例。在带余除法中，常见的表达方式是：

25 ÷ 6 = 4 ······ 1

在作者看来，这样的表达方式应该从教科书中清除出去，因为右边的 “4 ······ 1” 不是一个数，没有任何意义。作者说：

21 ÷ 5 = 4 ······ 1

两个等式的右边一模一样，以此推理，我们会得到 25 ÷ 6 = 21 ÷ 5。这是很荒谬的，所以带余除法不能用这种方式表达。正确的带余除法表示方式应该是：

25 = (4 × 6) + 1

作者没有提到但是我在辅导大宝的时候发现的一个让她困惑的问题是除数和余数的关系。比如说用13根小木棍摆正方形，我们可以摆3个正方形，余下1根小木棍，也可以摆2个正方形，余下5根小木棍。直接问13根小木棍可以摆多少个正方形是不严谨的，应该问“最多”能够摆多少个正方形。人教版的数学书中没有强调“最多”的概念，而只是在一个例子后提了一句：注意余数不能比除数大。按照伍鸿熙对于带余除法的探讨，“余数比除数小”这一概念应该放在带余除法的定义当中。只有这样才能消除歧义。

带余除法的严格定义需要引入符号语言，对于低年级的小朋友可能难以理解和接受，所以给小孩子讲解带余除法时强调“最多”的概念应是非常重要的。

对于是否应该给小学生引入符号语言，伍鸿熙比较乐观，他写道：“Let it be said explicitly that, indeed, elementary school students must begin to learn to use symbols……Children’s capacity for abstraction is larger than what most people realize, and this fact is further confirmed by the curricula in other developed nations such as Russia.”（明确地说，小学生必须开始学会使用符号······儿童的抽象能力比大多数人认为的要好，这一事实已被其他发达国家如俄罗斯的课程所证实。）

具体何时引入抽象的概念，伍鸿熙的建议是五年级，一是对分数的系统处理需要抽象能力；二是马上要为学习代数做准备。

我想的是，五年级之后就可以给大宝推荐这本书了。

书中还有一些其他很有启发的论点我不一一赘述。本书出版的目的是伍鸿熙深感美国数学教育的不足，决定给数学老师补补课。书中一直强调的是精确的定义以及逻辑推理，这是学好数学的基本条件。不过此书出版之后的这十多年来美国的数学教育似乎也没什么起色。不同于中国的情况，美国的小学老师不是专科老师，也就是不分数学老师语文老师等，而是一个老师全包，并且也没有专科的教研室。我猜想，对于美国大多数的小学老师而言，要读完并理解这本书恐有难度，更遑论将此书的思想应用于课堂上。

从另一方面看，此书当可以作为教学活动的一个参考书，但没有这本书也不见得就教不好，毕竟小学生需要掌握的也就是一些基本运算法则，逻辑严密的推导在给小学生的教学实践中应该也不好展开。美国数学教育的真正问题，在于要求太低，练习太少，这不是这本书能够解决的。